Teorema+de+Rouché-Frobenius



El **teorema de Rouché-Frobenius** permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema. Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché quien lo enunció y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron. Así, en otros idiomas recibe otros nombres como el **teorema de Rouché-Capelli**, el **teorema de Rouché-Fontené**, el **teorema de Kronecker-Capelli**, etc. El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posean el mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas o será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta. En particular, si el cuerpo //K// es infinito tenemos: Por tanto:  - Si rgA=rgA*=nº de incóg. -> SCD  -Si rgA= rgA* pero no es igual al nº de incóg. -> SCI  -Si rgA no es igual al rgA* -> SI
 * si rgk(//A//) = //n// entonces la solución es única,
 * de otro modo existen infinitas posibles soluciones.