La+integral+y+derivada

Esto es importante porque en muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales parece buena idea saber hacer esto. Por todo esto,vamos a ver **cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral**. El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el **teorema fundamental del cálculo** (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue **James Gregory**, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue **Isaac Barrow** el primer que demostró este teorema. **Isaac Newton** terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente. ¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que **la derivación y la integración son procesos inversos**. Pero **además nos da una manera de calcular integrales definidas**. El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser : ¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que **la derivación y la integración son procesos inversos**. Pero **además nos da una manera de calcular integrales definidas**. El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser :
 * La integral y la derivada son procesos inversos**, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.

> __Primer Teorema Fundamental del Cálculo__ Dada una función , >>> Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia. >>> El enunciado del TFC2 es algo así: >>> __Segundo Teorema Fundamental del Cálculo__ >>> Si es una función continua y  es una función tal que, entonces: >>> Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos (lo que se denomina //una// primitiva de ) y restamos los valores de  en los extremos del intervalo. >>> Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales. >>> Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función, definida mediante una integral: >>> La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular necesitamos algo más. Este //algo más// es una generalización del TFC1, que combina este resultado con la **regla de la cadena**(que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones).: >>>>> __Generalización del TFC1__ >>>>> Si la función está definida mediante la siguiente integral >>>>> >>>>> entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma: >>>>> Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior: >>> >>> Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde aparezca dicha función, etc. >>> ===Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz=== Vamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende ? Es decir, si nuestra tiene esta forma: >>> >>> donde la función depende de  (que es la variable de ) además de depender de, ¿cómo calculamos su derivada? >>> Para este caso necesitamos utilizar la conocida como **Fórmula de Leibniz**, que nos dice cómo calcular dicha derivada. Ahí va: >>>>> __Fórmula de Leibniz__ >>>>> Dada la función >>>>> >>>>> podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula: >>>>> Como podéis ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de.
 * 1) La función [[image:http://s.wordpress.com/latex.php?latex=F%28x%29%3D%5Cdisplaystyle%7B%5Cint_a%5Ex%20f%28t%29%20%5C%3B%20dt%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0]] es continua.
 * 2) Si además [[image:http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0]] es una función continua, entonces [[image:http://s.wordpress.com/latex.php?latex=F%28x%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0]]es derivable, y